多くの機種で、コネクタが別物というぐらい違うので、一筋縄ではいかないです。
また、電源の形状も大幅に違うため、そのままでは取り付けることすらできないです。

ATX電源が、そのまま流用可能な機種(Xa/W型番、SDRAM対応機種、mate-R)と
コネクタの変換を自作すれば何とかなる機種(Xa10/9/7以降のmate-X、VALUESTAR)だけは
形状的にはATX電源が流用できます。
＃もっとも、ファンの位置や電源ユニットの奥行き、背面コネクタの形状や配置に注意が必要ですが。

Xtは全機種専用電源です。
ただしサイズが大きいため、中身だけ移植してコネクタを付け替えるようなこともできなくは無いようです。(やっている人がいた)

98Multi/Canbeは、そのサイズに収めるために、機種ごとに専用の特殊な形状の電源が使われています。
A-mateとB-mateも含めて、形状的に移植するのが困難です。

Xa無印は忘れました。（汗
St、CEREBは分かりません。

逆のパターンは、ATX電源がそのまま流用可能な機種に使われていた電源を
ATX電源の代わりに使ったというものだと思われます。
＃スタンバイ(5VSB)の容量が小さいため、使えるマザーや構成は限られるようですが。

http://www.daw-pc.info/hard/powerunit/powerunit4.htm
PS_ONをGNDに落とす(COMに接続)するとスタンバイ5V以外の出力も出ます。
コネクタを千石電商などで購入し、ピンアサインを変換すれば外付けにはなるものの使えるかと。
1台でよろしければApだったかを解体して出てきた電源を無償譲渡しましょうか？
(規約的にまずければすみません、削除し再投稿させていただきます。)

アドバイスありがとうございました。
そもそも形状的にATX電源を内蔵させるのは難しいかと思うので、外付けにしてオリジナルの電源のコネクタを使って動作させられないかと考えています。
もしよろしければ電源をお譲りいただけますか？＞はｄｓｎ様。当方のメアドを連絡いたします(＠マークを2個取り除いたのがアドレスとなります)。

そういうことでしたか。　＞外付けにして
本体の中と外とのコードの取り回しが問題ですが、理論的には出来るはずです。

マザーボード上の電解コンデンサだけでなく
電源ユニットに使われている電解コンデンサも劣化するので
可能であれば交換して見ることをお勧めします。