多分再びピーガーってのはモデムの事だと思いますが、電話線を分岐して使用するのは回線品質を著しく落とす元ですね。

モデムにアナログポートがあればそちらからFAXに接続した方がまだましだと思いますよ。
電話する事自体は回線の品質がそれほど高くなくても通じますが、最近の高速モデムは回線の品質がもろに出ますから・・・・・

電話線を分岐することによる弊害の他に、FAXがノイズを乗せることもあります。
FAXを電話線から外して改善されるようなら、それが原因です。
PC対応の値段の高い分岐アダプタに交換するか、FAXにアース端子が有ればアースに落としてください。

＞しかし、ピーガーという接続音の後、いつもなら接続されるのに、再びピーガーとなってしまいます。

・・とういことは、今までの同環境でピーガーの繰り返しはなっていなかったのですね？

＞ちなみに、２階まで引っ張ってきたコードでも、電話を接続すれば、普通に通話できます。

この時、「プツプツ」とか「ザザッ」というノイズが会話に乗ったりしませんか？

ちょっと配線が見苦しくなってしまいますが、長い電話線を2本用意して、壁→モデム→FAXの順に一直線に接続するという方法もあります。
ぼくとしては、ちょっと値段が高くなってしまいますが、秘話機能付きの電話線分岐アダプタをおすすめします。2000円ぐらいで買えると思います。

ＫＯ１さん、蒼竜さんのいわれてるとおり電話機からのノイズが原因だと思います
そのFAXは特にノイズが強いみたいなので出来ればモデム使用時にはFAXの電話線は電話機からはずしておくことをおすすめします
ノイズを抱えた電話機だとサービスコネクター経由でもダメな場合が多いです
たとえ使えても接続速度が著しく低下いたします
対策としては電話機側のノイズを取ってくれるノイズキャンセラー付きの自動分岐装置を使うのがいいでしょ〜

えっと、さらに補足。（ぉ
YUさんが薦められた「秘話機能付き分岐アダプタ」でも、FAXからのノイズはモデムへと流れていきます。私が書いた「PC対応の値段の高い分岐アダプタ」とは、kimさんが挙げられたノイズキャンセラー付きのもののことです。（もちろん、これにも秘話機能は付いていますが。）
小さなお店だと、ただの秘話機能付きアダプタしかないかもしれないのでカタログなどで確認してみてください。