外部からのメールサーバーへのアクセスですね。
(カフェ->インターネット経由->どてちんさんのプロバイダのメールサーバ)
基本的には可能です。

インターネットカフェのパソコンにメールソフトがインストールされていて、更にどてちんのさんメール受信が可能なように設定されていることが条件の一つです。(一応、お店に人に許可とってからやりましょう。(^^;)それに、メールサーバーのメールを受信と共に削除してしまわないようにしておくとよいでしょう。

希に、セキュリティ上の問題から外部からのメールサーバー(SMTP、POP共に)へのアクセスを許可しない設定にしているプロバイダも意外とあるので、プロバイダに確認したほうがよいですね。

補足です。

＞それに、メールサーバーのメールを受信と共に削除してしまわないようにしておくとよいでしょう。

カフェのパソコンのメールソフトでの設定です。

　Yahooのメールサービスを使用してはどうでしょうか？

　Yahooメールサービスはブラウザ上でYahooメールの送受信だけではなく、外部プロバイダのメールを受信する事もできます。
　(メールソフトを使わずブラウザだけでメールの確認ができ、POPサーバ毎に受信したメールを残す／残さないの設定が可能)

　詳しくは、Yahooサイトをご覧下さい。

＃同様のことは、gooメール等でも可能です。

大抵のプロバイダーは、自分のアクセスポイント以外の所から、インターネットを経由してアクセスしてくるユーザー（会員）にも、ＭＡＩＬは読めるように設定できます。
ただ、ＭＡＩＬの発信は、自分のアクセスポイントからのログイン以外では出来ないようになっているのが普通です。

http://www.odn.ne.jp/counter/index.html
からカスタマーサポートページを開いてメールBOXの全削除ツールの中でメールを見たり削除したりできるようです。
当然どでちんさんのユーザー名とパスワードを聞いてくるはずです。

私が使っているのはＡＳＡＨＩ−ＮＥＴですが同じような機能をプロバイダ側で持っています。
＃私のところはサーバー上にアドレス帳を追加したり、メールを送信したりできるので便利です。

おお！ みなさまありがとうございます。
レスを参考にしながらいろいろ調べた結果、YahooのWebメールを利用することに
しました。今のアドレスとは変わってしまいますが、設定も簡単なので
気軽にいろんなとこからチェックできそうです。

ありがとうございました。

　Yahooメールをメインに使うことにしましたか。

> 気軽にいろんなとこからチェック
　自分専用以外のマシンからチェックした後には、忘れずに「終了」−「完全にログアウト」をして下さい。これをしないと、ユーザ情報が残っていて大変な事になったりします(^^;;。(この後、使用した人が悪用なんてことも...)

　あと、今までのメールアドレスもYahooの方に転送するようにしておけば良いかもしれません。