「コントロールパネル」の「インターネットオプション」の「接続」の中に、自動的にダイヤルするかどうかの設定がありますが、それでは直らないのでしょうか。

　その「ダイヤルの画面」というのは、ルーター側（のファーム）から出ているのでしょうか？　そうなら、お使いのルーターの説明書を見れば自動接続させる設定方法が書いてあるかと思います。

　その「ダイヤルの画面」というのが、もともとの（窓9Xの）「ダイヤルアップネットワーク」の確認ダイアログならば、そもそもルーターがルーターとして機能していない（OS側からはTA（モデム）として見られている）ような気がします。
　ルーターには「ダイヤルアップネットワーク」の設定は関係ないし、必要ないので、もし残っているのなら「アプリケーションの追加と削除」から削除、それからLANの設定を確認し直してみてください。

　ともかく「出ないように」云々というより、「出ている」こと自体が変です。
　まず、ルーターとPC本体は、きちんとLANケーブルで接続されていますか？
＃現状はPCにNICが無くて、シリアルケーブルで接続されている、というオチは勘弁ですよ・・・(^^;)

皆さんレスありがとうございます。

＞ＹＵさん
最初に書いたプロパティとはそこのことです。
直しても再起動すると直ってしまいます。

＞ＣＥ９Ａさん
一応モデムも使っていて、それのダイヤル画面が出てくるのです・・・
何とかならないのでしょうか？
ルーターの設定は一応きちんと出来ていると思うので、windows側の問題だと思うのですが・・・

よろしくお願いします。

＞一応モデムも使っていて、それのダイヤル画面が出てくるのです・・・
　う〜ん・・・こういう事情だと私にはちとわかりません。
　ルーターを導入されたというのにモデムが外せない理由はなんでしょう？　その辺りを書いてもらえば、どなたかが解決策を出してくれるかも知れません。

コンパネ->インターネットオプション(IEでツール->インターネットオプションでも可)にて、「接続」タブ内で「ネットワークの接続が存在しないときにはダイヤルする」というのにチェックしてみてはどうでしょう？