上がります
というか、9x系のOSはTCP/IPの設定がデフォルトだとまずいんですが、ちゃんと設定してやっても、NT系OSのほうがまだ速いです
ただ2000にすると、256MBではメモリが不足する可能性もありますね

現状とくに問題ないなら、無理して変えるのも、、と思いますねぇ
OS自体の安定性は上がるのですが、それは周りの環境が伴っての話です
古い機器を使っていてドライバが用意できない もしくは9xではギリギリ動いていたけど、2000にしたら不安定になってしまう、、ということもありえますので
メモリの件もそうですし、思わぬ出費になる場合もあって、、、
そうなってもちゃんと直せる、新規にハードウェアを交換できるのであればいいんですが、単純に通信速度が上がればいい という点でみれば新たなトラブルを抱え込む可能性もあって、、、、
NT系OSを入れたことないのであればXPのほうが新しいぶんトラブルも少ないので、いいんじゃないかと思いますが、、、

　結局は、チューニングしだいである程度どうにでもなる話なのですが・・・

　256MBのメモリというのは、Windows2000ならともかく、WindowsXPでは、かなりつらい環境です。デフォルトの状態だとすると、Windows2000を256MBで使用するのと同じレスポンスがほしければ、WindowsXPなら512MBはほしいところです。
　基本的に新しいOSは、より大量のメモリやCPUの資源を大量に効率よく使用することで性能が出せるようになっています。少ない資源しかない環境では、かえって古いOSの法が快適に動作することが多いです。もっとも、ネットワークに限定すれば、Windows9x系は、セキュリティーの問題などから既に使用すべきではないOSとなっており、性能以前の論外なOSです。　
　WindowsME世代のパソコンであれば、TVキャプチャカードやサウンドカードなどのマルチメディア関連デバイスがWindows2000/XPではドライバがないために使用できない場合がよくあります。特に古いキャプチャカードは、Windows9x/MEにしか対応していないものがかなりあります。

> 上がります

便乗で失礼します。
友だちに同じようなことを聞かれました。
Duron 650MHz、320MB、Windows Me、回線はTEPCOひかり（speednet）です。
TCP/IPの設定は調整しています。

現状は http://www.bspeedtest.jp/ で50Mbps前後、
上りは測定サイト不詳で30Mbps前後です。

私の答えは今それだけ出ていればあまり変わらないかも、と返事しました。
Windows2000プロフェッショナルにすると変わるものでしょうか。

＃本人もこれ以上上がっても測定サイト以外では体感出来ないかもと言ってましたが。

>Tamboさん
上がらないかもしれませんが、それでも多少は上がるとは思いますよ
ただ表示を上げるためにPCを使っているのか というとそうではないと思いますので、光の速度をなにに活用するか、、ということも考えてみてはと
安定性や、アプリケーションの肥大化などを考えても、やはり2000/XPのほうがなにをするにもちゃんと使えると思います
また0さんも書かれていますが、セキュリティパッチの供給についてもこの先不安があると、思いますね
そういうことを理解された上であえてMeを利用しているというのであれば、まぁいいのですけどね、、

幸いにも使用しているPCIバスの拡張ボードのドライバー類（ビデオキャプチャーボードなど）はすべてWindows2000で動くものが調達できたので、Windows2000に載せ換えました。
NT系のOSは会社でNT3.51からNT4.0、Windows2000とすべて入れた経験があるので、何も難しくなくインストールできました。
回答ありがとうございました。

やってみなきゃ分からない部分もあるようですね。
OSだけを新たに買うのもコストパフォーマンスが悪いので、
変更するとなるとパソコンの買い換えになると思います、と本人も言ってました。