インターネットストリーミング放送っていうのがどんなプラットフォームで動作しているのか解らないですが・・・。
実際問題として、自分のパソコンで表示されているHPの内容は（HTMLやCGなど含む）全てローカルのHDDの中にあります。
だからそれっぽいファイルを検索してみては如何でしょう？

インターネットエクスプローラだとWindowsインストールフォルダ内の
「Temporary Internet Files」
の中にあるので、表示中に別フォルダにコピーしてしまえばOKかと。

なお設定にもよりますが、ブラウザを閉じてしまうと削除されてしまう場合もあるので、ブラウザは閉じずに行った方が良いかと。

＃以上、曖昧モードなのでツッコミをよろしくお願いします

　「インターネットストリーミング放送」ってことは、Real形式かWindows Media形式ではないかと思いますが・・・小刻みにバッファリングしながら再生しているモノはキャッシュには入らないような気がするのですが・・・どうなんでしょう？(^^;)

「放送」はファイルとして記録できません。
名前を付けて保存すると、コンテンツの在処（放送のサーバ）へのショートカットが出来るだけです。

＞コンテンツの在処（放送のサーバ）へのショートカット

このファイルをメモ帳などで開くと、音声ファイル自体へのロケーションが
記述されています。音声ファイルが置かれているのがストリーミング専用の
サーバでなければ(つまりふつうのHTTPサーバなら)、iriaなどのダウンロード
専用ソフトでダウンロードができると思います。
あるいは、CGIなどを利用してロケーションが分からないようにしてある
ページもありますので、その場合は無理ですね。
というか、明らかにダウンロードを拒否しているのだから諦めるべきでしょう。(^_^;

ネットスケープでリアルオーディオを受信した場合だと、cacheフォルダにデータが残ります。ただし、ファイル名はネットスケープが勝手に付けた物になるので、時刻を手がかりにしてファイルを探す必要があります。
また、ネットスケープを終了すると、リアルオーディオのファイルは自動的に削除されるので、ネットスケープは起動したままでエクスプローラーを開き、ファイルを別のフォルダに移動またはコピーしてください。ファイル名も、わかりやすい物に変えておきましょう。
ショックウェーブフラッシュなどのデータも、同じようにして保存することが可能です。

ううむ、やはりいろいろツッコミがいのあったレスでしたね。（汗）

皆さんレス遅れましたが、有り難う御座いました。
やっぱり僕の力量では、無理でした、皆さん、本当に有り難う御座いました。