社内LANにメールサーバを設置すれば可能です。

＞またソフトが別途いるのか分からないので

ここでは定番ですが、BlackJumboDogをオススメします。
http://homepage2.nifty.com/spw/bjd/index.html

BJDの設定は上記サイトを見てもらうとして、、クライアント側のOutlookExpresssのアカウント設定にて、BJDをインストールしたマシンのIPアドレス(IPメッセンジャーというくらいですから、LANはTCP/IPベースで構成されていますね？)を指定してあげればOKです。それ以外は通常のプロバイダのメールサーバを使用する時の設定と同じです。

簡単なメールサーバ・ソフトは、フリーソフトでも出ています。
社内・構内だけなら、お金も技術もかけずにメールシステムは構築できます。

メッセンジャーでいいのであればこれなんかお勧めです。
http://ww1.tiki.ne.jp/~yossy/japanese.html
このソフトだと添付ファイルなども送れます。
ただし、フリーなんですが登録ソフトのため、登録しないと使用期限を越えたときに添
付ファイルは送れなくなってしまいますが。
（ちなみにうちの会社はこれを使ってます）

それにメールサーバだとメールサーバーにしたパソコンを一番最初に起動して、一番最
後に終了する必要があるので注意してくださいね。
（自動起動・自動シャットダウンできれば大丈夫ですが、うちの会社はメールサーバー
にするマシンが対応してなかったので）

皆さん有難うございます。
BlackJumboDogが私の望んでいるほうにあっているようなきがします。
とりあえず試してみます。有難うございました。

設定していて思ったのですが、このソフトではたとえば「1@abc」という本物ではないメールアドレスは使えないのではと・・・。途中なのでなんともいえませんが。

本物ではないとは・・？？(^^;

@の後ろのドメイン部分は自分で決めてよいのですよ。
@kagemaru.comとか、@haro.netとか、今構築しているメール環境はローカルで完結しているのですから、好きなようにドメインを命名して構わないのですよ。

ということは設定がまだまだ駄目って言うことですね。
設定がきちんとできた時点でご報告します。
有難うございました。

いろいろいじってしまいおかしくなっていました。
どうりでできないと・・・・
無事できました。
以上ご報告を。