自分で試せるとしたらこんなところでしょうかね。

　まず大前提があります。FinePixで撮ったAVIのプロパティで以下を調べ、
Premiereで出力するファイル形式を合わせます。
・画像の大きさ
・フレームレート
・音声フォーマット（量子化Bit、周波数、チャンネル）

その上で、PIC MJPEGのCodecの設定でMJPEG欄の「Subsampling」
（Advancedを押すと現れます）を３種全て試してみてください。
たぶん、4/1/1の可能性が高いと思います（容量が少なくて済むから）。

それでも駄目なら、メーカーに問い合わせるしか無いと思います。
最悪、「出来ません（Ｔ＿Ｔ）」って回答かもしれませんし。。。

　あ、撮ったムービーを単純に不要な部分をカットとか、部分的に繋げる、
というような編集だけなら「再圧縮無し」で出力すれば一番確実です。
この「再圧縮無し」ファイルをFinePixで再生できないようなら、
望みは薄いと言わざるを得ません。

テロップを入れる、フェードインとかのエフェクトをかけるとなると
再圧縮が必要で、上記のような注意が必要になってきます。