電源BOXについているスイッチは、主電源スイッチなので、電源BOXによって付いているものと、無い物があります。
電源を入れるには、マザーボード側に有る電源管理のコネクタにちゃんと、電源BOXからの電源管理用のケーブルの接続がちゃんと所定の位置にされていないか、
もしくは、ケース側に有る電源投入スイッチのケーブルが、マザーボードの電源管理コネクター所定の位置に接続がされていないかのどちらかと思いますが、どうでしょう？

早速の解答ありがとうございます。

スイッチがついていないものの場合は、ACアウトレットにコードを差し込めば
常に電源オン状態ということですか？

ただ、電源コネクタ、電源投入スイッチ(powers/w)は確認済みです。トホホ。

電源ですよね？　ケースではなく・・・
とりあえずメーカと型番わかりますか？

メーカー：CWT(channel well technology)
型番：CWT-250ATX
です。メーカーでわかるんですか？？すごい！

CWT-250ATXだと確かにスイッチないですね^^;
しかもこれって確か電源のFANが排気ではなく吸気タイプでCPUに暖かい排気を吹き付ける電源ですね
うーん、この電源はたしか+3.3Vと+5Vの合計が135Wしかないのであまり電気大食いのデバイスを繋ぐと立ち上がらないかもしれません
>スイッチが必要なのでしょうか
という事で元々電源スイッチはないので不要です
>スイッチがついていないものの場合は、ACアウトレットにコードを差し込めば
>常に電源オン状態ということですか
ATXはM/Bまで通電しているのが仕様ですのでご安心ください
電源のコネクタがM/Bに刺さっていて投入スイッチの接続も間違いないとなると・・・
電源のFANも回らないのですね？
となるとケーブルの緩みや電源が115Vではなく230Vになっているのではないでしょうか？

＞電源を入れるには、マザーボード側に有る電源管理のコネクタにちゃんと、電源BOXからの電源管理用のケーブルの接続がちゃんと所定の位置にされていないか、
ややこしかったですね。m(__)mATX電源から出ている電源ブロックコネクタの事です。

＞常に電源オン状態ということですか？
マザー側で管理だと思うのですが、マザー側に有るPOW-ONヘッダーとPCの本体ケースに付いている電源スイッチを繋いで、ケースの電源スイッチを押す事により、PCが起動するようになると思うのですが。マザー側に有るPOW-ONヘッダーに刺さっている、コネクタ位置が刺し間違えていないか再度確認してみてください。

あとは、考えられるのは、電源BOXの使用地域の電圧セレクトが230Ｖ側になっていないか確認です。日本国内は基本的には115Ｖなので、間違っていたら、115側に直して下さい。
（電源BOX後ろに有る　オレンジ色もしくは赤色の所に、115と230と書いてあるスライドする奴です。）

ATXは待機中の出力があり、マザー側で有る部分を通電状態にすると全出力になるんでは無かったんでしょうか？
逆刺しとかいう落ちは確認されましたでしょうか？
外してたらすみません。

ATX電源に主電源スイッチが内場合コンセントからのケーブルをさしたままにしていると
パソコンの電源が入っていなくても　マザーに電源が流れていますので無駄に電気を消費する
子とになります。　電源ユニットもファンは回っていなくても　軽くではありますがあたかかくなっています。

＞パソコンの電源が入っていなくても　マザーに電源が流れていますので無駄に電気を消費する
判りやすく言うと、ビデオデッキと同じって事です。リモコンや、主電源側で切っても、内部タイマーやその他の一連の起動管理の為に、コンセントを抜かない限り、微量ではあるが、電気を食らいつつけるって事です。