たしか、ATX規格では電源ユニットにファンは必須だったと思うので、そのような電源は存在しないと思います

参考）
某社にファンレスＰＣって有ることは有りますが（まさにルータ用途、いまは載ってませんが以前でていたものはＨＤも無かった）。
ＪＣワールドのホームページを探すとそこからリンクが有ります。
ただ、ベアボーンはあるけどケースの単体販売は無かったと思います。

単体での販売がないとすると、諦めてベアボーンを探すしかないようでね。
そこで質問ですが、安価な省スペースのベアボーンがあれば
教えて頂けないでしょうか

中古のノートという選択肢はないでしょうか
FANレスもありますし電源だけでなくCPUのFANやHDDも静かですよ
さらにバッテリーという名のUPSもあるので停電や瞬断に強いです^^;

無音ＰＣの会社
http://www.coolgreen.co.jp/
ただ、以前でていたＨＤＤレスＰＣは無いです。（これは電源落ちた後でも勝手にＦＤ起動してラムディスク運用される優れ物だったと思いますが）
あまり安価なベアボーンは電源が、と○ー○ス○ラン○ングの人に言われたので常時接続用としては？では・・・危なくて五月蠅いかも。
てなわけで、安いノートに１票。
あと、２万ちょっとでケーブル等へのルーター（ＮＡＴ箱？）とか有りますのでそっちの方が良いかも。
なんか、電源からだんだん話がずれていく。

>ダイヤルアップ
すいません、ここを見落としていました。
上記の不適切な部分は無視してください。

http://www.mrl.co.jp/catalog/nw/mr-nwgsw.htm
これ　どうでしょう？