チップセットやビデオカードのようなハードウェアの構成が異なると思うので難しいです
運が良ければ起動する時にPnPで自動的に必要なドライバが入りますが、普通は起動時に止まります
Safeモードで起動していらない部分を消しまくって再起動してPnPで認識させて…の繰り返しで使えるようになると思いますが、初心者には再インストールしたほうが楽でしょう
あと、ライセンスの問題もありそうです

もうすぐ夏休みなので実家に顔を出されては?

おそらく、お父さんにWindowsのインストールの知識がないために、そのような方法を考えられたのだと思いますが、すでに書かれているように、そのHDDが接続されたマシンに合わせて多くのデバイスドライバを入れなおすことになってしまうので、この方法でもそれなりの知識が必要になってしまいます。

セットアップできます。
ただし、準備に時間がかかりますが　^^;
セットアップに必要なファイルは、すべて「C:WINDOWSOPTIONSCABS」に集めてください。
もちろん、「MSBATCH.INF」「COSTOM.INF」も作って同じフォルダに登録してください。
手順です。
「C:WINDOWSOPTIONSCABS」よりセットアップを実行します。
セットアップ中のファイルのコピー（画面下にバーと右下に太鼓のアニメーション）完了後に
本体より取り出します。
次にＶＳに取り付けて起動、続きのドライバの追加に入っていきます。
このとき、「C:WINDOWSOPTIONSCABS」と「COSTOM.INF」を用意していないと地獄を見ます。
（ＷＩＮ98のＣＤをセットしてください）に悩まされます。
ＰｎＰ終了後、再起動、出来上がり。
駄目元でどうぞ。
ＰＳ．「COSTOM.INF」作成時必要なドライバ類は、NECのWIN98サポートキットを
使用するか、現在使用中のVS搭載HDDから抽出してください。

chiさん＞HDのみを扱う場合、外付けなら別ですがHDの取り出しの難易度や、誰が取り出すのかといった問題があります。HDをやりとりするより、バイオを箱ごと送ってもらう方がいいんじゃないでしょうか？その方がドライバや設定の面、安全性からもいい気がします。（送料高くなりますけど）
　ちなみに、どういった方法をとるにせよ、ドライバディスクがある場合をのぞいて、バイオ既存のWindowsから必要なファイルをバックアップしておく必要があります。バイオの場合、一つのフォルダに再セットアップに必要なドライバ類がまとめられていたような気がします。