すいません。PC-VU45L/17Aでした。

電源コンセントを抜いて入れなおして見てください。
どうなるでしょうか?

そうするとすぐに電源が入って起動し始めてしまいます。
つまり電源を切るにはコードを抜くしかない状態です。

マザーボード上に付いているコントロールコネクタを外してみてはどうでしょうか？
電源スイッチ、電源ランプ、HDDアクセスランプ、とマザーボードのコントローラーコネクタの部分です。
PCのケースを開くのが初めてでしたら、検索サイトで「自作PCのコネクタ接続」で検索して、参考にしてから行ってみて下さい。(自己責任)
PC-VU45L/17AはMicroATX規格でミニタワーです。電源は180W程度の省電力タイプです。
もし、電源が悪くても市販に売られている自作PCの電源とは互換性が無いため交換できません。
電源は、メーカー独自設計 補助電源-6Pinが存在しています。 (私もこれに悩まされました)

まず、コントロールコネクタをすべて外します。
その後、PCの電源(コンセント)に差し込んで下さい。

外しても電源が入る・・・マザーボードの故障です。(メーカー修理)
電源が入らない場合・・・PCスイッチボタンを調べてます。(接触不良、詰まり可能性あり)

どうなるでしょうか?

ケースからのコードが接続されているコネクタを外して別の電源スイッチを
取り付けてみましたが、電源が入ってしまいます。
少なくともスイッチの故障ではないので、やはりマザーの故障のようですね。
しかしこのようなマザーの故障というのはあまり聞いたことがないです。

そうですね・・。
私もこのような故障はきいた事、無いのですね・・。

BIOSの更新(Version-up)を試してみてはどうでしょうか?
BIOS情報が壊れている可能性も考えられます・・、確立は低いのですが。(自己責任)
但し、WindowsMe専用のBIOSになります。Windows98/2000は使用しない方が良いです。
システムデバイスに!が付きます。(自作ならドライバーを探せますが・・メーカー製は見つからないため、苦労します。)

最後の手段として、試してみてください。
直らなかったら、メーカー修理ですね・・。

マザーボード上の電池が切れてるとか。