すみません。マシン環境を書き忘れたので追記しておきます。

マシン：９８２１Ｓｔ１５／Ｌ１６
ＣＰＵ：ＰｅｎＰｒｏ １５０Ｍｚ
メモリ：１６ＭＢ
ＨＤ：２．４Ｇ
ＨＤＤ以外、デフォルトです。

解決になるかどうか分かりませんが
1.BIOSリセットを行ってみる
2.PCIセットアップディスクでLANボードの割り込みを違う値にして固定してみる
3.LANボードの挿してあるスロットを変える
を行ってみてください。

15-16MBのところの設定は合っていますか？
または、サービスパック３以降を入れ、ドライバをインストールした後に
ボードを取り付けてみてください。

てんどんさん、かすが☆さんアドバイスありがとうございます。
実験結果は全滅でした。
まず、ＢＩＯＳリセットしてセットアップはダメ、ＰＣＩセットアップでＩＲＱを固定にしてもダメ、
ＰＣＩスロット１〜３全て試しましたが、だめでした。
次に１５〜１６ＭＢのメモリ空間は「使用する」になっているのを確認後、セットアップするがダメ、
ＳＰ５を入れた後にボードをインストールしてもダメ、でした。
この問題はＳｔ１５のＰＣＩスロットのバグが原因のような気もするし、
ＸｔとＵＩＤＥのような相性（？）が原因のような気もしますが、何なんでしょう・・・。

う〜ん、多分MELCOのLANボード(MX社)のコントローラのPCIインターフェースがSt15のPCIバスでは動作しないのではないでしょうか？
おそらくPCIバスがシビア（ノイジー？）な為、アクセスを行った途端にPCIバス上でパリティエラーが発生してストールしていると思われます。
StシリーズやXtシリーズなどで使用出来ないPCIボードが有るのは、PCIバス部分の設計やノイズの許容範囲、PCIバスのクロックを使用して動作する場合の挙動が他の98と異なるからだと思います。こればっかりはソフト的に回避する事は出来ないと思います。
アドバイスになっていませんが、元DECの21140/21143や、Intelの82557などが載っているLANボードにした方が良いと思います。（NEC純正のLANボードも結構安く出回っています）

参考にはならないかもしれませんが、私のところのメルコ製LANカード「LGY-PCI-TR」は
St15で快調に動いています。それにしても動作実績のないボードに関しては 動く、動かないの判断が付きにくい機種ですね。Stシリーズは。

てんどんさん、TADAさん、アドバイスありがとうございます。
今日、秋葉原に行ったついでにＰＣＩ社の「ＦＮＷ−９７００−Ｔ」（２１９９円）を
購入し、付けてみたところ、問題なく動作しました。（要ＰＣＩのＲｅｖ２．１以上なのに）
皆様、本当にありがとうございました。また何かありましたらよろしくお願いします。
それにしても、本当にＳｔ１５はクセが多いですね。もう一台のＸｖ２０が素直なだけに苦労しそうです。