マルチタスクＯＳではありませんので、ソフトを使っていない状態でなら、
バッチ程度で、DOS用スクリーンセーバーをタイマー起動させる事が出来ます。
壁紙も16色以下ですが、テキスト＋グラフィック画面を重ねて表示する事で可能だと思います。

EPSON DOSであればバックグランドカラーとフォントカラーを
起動時に指定できますがそれ以上は難しいですね。

「Vector」や「ふりっぽ」には有りませんでしたか？

壁紙機能はありませんが,Ψｍｅｎｕ（プサイメニュー・ＰＳＩＭ４０３.ＥＸＥ）ＶＥＣＴＯＲはどうでしょう。スクリーンセーバーも本体プログラムについていますし,他のスクリーンセーバーも組み込めます。画面上の色の変更、ＦＥＰの切り替え、時計、カレンダー、プログラムのランチャー機能、スケジュール機能、マウスも使えます。簡易版のプサイミニもあるようです。

DOSでも、壁紙やスクリーンセーバーはフリーソフトで大量にありました。

DOSの場合、99.9%のアプリは全画面での使用が前提のため、壁紙というのは、お気に入りの画像を、文字表示の邪魔にならないように暗くして表示しておくというのが一般的な使い方でした。ですから、有名な画像閲覧ソフトには、画像の明るさを調節できたり、画像を表示したままアプリを終了したりする機能が備わったものがたくさんありました。
そのようなソフトをAUTOEXEC.BATに登録して壁紙を表示させていました。
たまに通常の明るさのままうっかり画像ビューアを終了してしまい、文字がまったく読めなくなってパソコンをリセットするしかなくなったという失敗は、DOS時代を知っている人なら誰にでもある経験だと思います。
DOSソフトについては、まずはベクターを探してみてください。

私はＴＧＣソフトを利用しています。
ただ、なにかグラフィックを表示するプログラムを実行する前には
画面を消去したほうが良いです。
このソフトの場合「GRAPH＋=」で変えられたと記憶しています。

なつかしいですね。もう５年前に移行しましたが、まだ当時のDosBootMoは残してたりします。
まず、Windowsの画面と Dosで標準と思われる98x1 16色画面の比較から
・Windowsは標準で、画面のプロパティからさまざまな色、解像度が指定でき任意の位置に
ウインドウが開け文字や、絵がかけ、さらに重ねたりできるが
98x1のDosの基本状態では、画像表示用の１６色（4096色中）モード１画面
文字表示用の画面１画面しかもっていません。

でDosでWindowsに匹敵する環境とは、（自分の５年前の環境）

○ファイル操作
　エクスプローラー ／ ファイルメンテ(98用テキスト版)・FD・HF・ほか
○デスクトップ
　ショートカット ／ 拡張子別にファイルメンテで関連付け・適当にBATを作成
○ 壁紙
　画面のプロパティ ／ 画像ビュアーで対応 Maged Griffon 忘れた。但し、終了時画像を 50%にしてたりした。
○ エディタ
メモ帳 / Vz（市販） 一太郎
○ MIDI
メディアプレーヤー / MIMPI
○動画
　メディアプレーヤー / MIMPI
○インターネット
　IE / どうやら98x1-dosでもあるらしいが初心者ページが見つからず。

ほかにDosはWindowsと違い露骨にメモリを意識しないといけません。
Windows9x系のリソース不足に対して、640Kの壁があります。
これを回避するのにUMBとかあるのですが、他を参考にしてください。
いろんな意味で、メモリマネージャーは、Vem486がおすすめです。
ソフトがEMSやXMSを使用するものがあり、ここを設定してあげるといろいろできることが増えます（RamDisk キャッシュディスク）

　昔はWindowsなんかいらんとかいってましたが、DVD動画とか
プレステエミュレータとか見てると、Dosじゃあつらいのかなぁ。と改めて思います。
なんでも動き限りなく安い　げいつＯＳ万歳（←爆死）

HidemaroSP2001 さんは見返りがあるうんぬんいっているので
できたら、Dosで、Windowsとファイルをやりとりする環境作成解説ページ希望ですね。
まあできたら。ということで生意気いってしまいましたが、よろしくお願いします。

訂正・追加
○動画
　メディアプレーヤー　/　たしかなんかあったけど９８２１用だったような
○スクリーンセーバー
　画面のプロパティ　　/　＊分後に起動する常駐ソフト、ファイラーから＊分後に起動するオプションを設定（ファイルメンテにこの機能なし）
○ぱそこん通信
　ハイパーターミナル　/ KTX WTERM

あと機種が386 20MHzクラスで壁紙やスクリーンセーバーの
機能だけを使うなら、Windows3.1のほうが楽です。
動画再生も手軽だし。(QuickTime)
もうひとつFreeBSD LINUXっていう手もあります。

単純に壁紙としての機能で行くならBMPLOADだったと思いますがそのBMPファイル表示ソフトが使えたかと思います。
このソフト、減色ルーチンなどを装備しており昔かなりお世話になりました。
上でも言っていますが、こういったソフトで壁紙を表示させておくとグラフィックプレーンにその内容が描かれたままになりますので画像によっては思わぬ弊害が出ることがあります。
（文字が見えなくなるなど）
この場合再度グラフィックプレーンを初期化しないと表示が消せませんのご注意を。
この手のソフトは初期化プログラムを備えていることが多いので、大概は平気かと思いますが。(^-^)
＃386〜286搭載機種ではファイルの表示に暇がかかります。
最近ではアクセラも激安で転がって居るので可能ならばそれだけでも付けておくと良いんですけれどね〜

>お気に入りの画像を、文字表示の邪魔にならないように暗くして表示しておくというのが一般的な使い方でした。
確か、マルチペイントに、オプションでこの機能があったと思います。（うろ覚えなので、ちと、自信ないが・・・　^.^ゞ）

C言語の勉強＆大学の画像処理の研究で、DOS版Microsoft CでPC-98のDOSで
画像表示ソフトを作ったことがあります。
しかし、もちろん16色に減色です。しかも、Xa7でK6-2とか載せていてもとても遅かったので
今は全然使っていません。
DOSでハイカラーが使えるIO-DATA GA-1024Aが手に入ったので、もう一度試してみようかな・・・