普通にインストできませんですか？。
10年くらい前にNS/EでNECMSDOS3.3Dを使ってましたが、普通に使えました。
HDDにアクセスできていることからFormatはできてるみたいなので、
HDDの中を空にした後フロッピーで立ち上げて
sys b:(HDD) とした後にフロッピーを外してHDDから立ち上げてみて下さい。
それと電源入れたときにHELPボタンを押してNOTEメニューを立ち上げて、
起動装置の設定を内蔵記憶装置に変更して下さい。＜ここらへんはNS/Eと変わらないと思うので電源入力した後ならCTRL+GRPH+HELPでも立ち上がると思います。
コマンドプロンプトまで行けば起動はできているので、DOSディレクトリをフロッピーからコピーするなりして環境を構築して下さい。
DOSのインストautoexec.batやcobfig.sysの書き方などはデスクトップとかわらないです。

後ろの部分ですが、フロッピーディスクを２枚とも抜き差しするものでなければ、RAMディスクの併用でほとんどのアプリケーションは動作すると思います。プロテクトがかかってるとまた別です。
RAMディスクを使用せずに増設RAMとして使うのであれば(HDD起動時など）、上記のNOTEメニューで増設メモリーとして下さい。
ここらへんのことは付属のガイドブックに書かれているんですが、中古で手に入れたとなるとガイドブックの入手は難しいかもしれません。

古い9801ノートは確か120MB（だったかな？）に壁みたいな物があります。この容量以上のサードパーティ製のHDDには専用のフォーマットソフトが添付されていましたのできっとこれが原因でしょう。

NS/Tそれ自身では80MB以下の容量のHDDしかフォーマットできませんが，他のマシンでフォーマットした540MB未満のHDDなら使用可能です．またNS/Tでも，
http://www.vector.co.jp/soft/dos/util/se035715.html
あたりを使えばフォーマット可能と思います．

まず基本的なことを。
ノートメニューで、ＨＤＤの起動になってますか。
アプリケーションの方はどんなエラーになるか書かないとわからないです。

起動したいHDDのパーティションがBOOT可になってますか？
FORMAT/Hと入力して出てくる画面で、「状態表示」を選択して
確認してみてください。

あと、HDDに対応しているアプリケーションなら、普通はHDDのみ
もしくはHDD＋1FDDで動くはずですが・・・・・

98NOTEメニューでFDDから起動になっているのでは？
違ってたらごめんなさい

その後、音沙汰ありませんねぇ・・。